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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
6.
a) Sean $f(x)=e^{x}+5, g(x)=2 x+3$ y $h(x)=f \circ g(x)$. Hallar la ecuación de la asíntota horizontal de $h$.
a) Sean $f(x)=e^{x}+5, g(x)=2 x+3$ y $h(x)=f \circ g(x)$. Hallar la ecuación de la asíntota horizontal de $h$.
Respuesta
La función $h(x) = f(g(x))$ es la composición de las funciones $f(x) = e^x + 5$ y $g(x) = 2x + 3$. Para hallar la ecuación de la asíntota horizontal de $h$, es necesario analizar el comportamiento de $h(x)$ conforme $x$ tiende a infinito y a negativo infinito.
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Calculemos $h(x)=f \circ g(x)$:
$h(x) = f(g(x)) = e^{2x + 3} + 5$
$h(x) = e^{2x + 3} + 5$
Calculemos la asíntota horizontal, evaluando la función cuando $x$ tiende a infinito:
$\lim_{x \to -\infty} h(x) = \lim_{x \to -\infty} (e^{2x + 3} + 5)$
A medida que $x$ se hace muy negativo (tiende a $-\infty$), la parte $e^{2x + 3}$ se acerca a 0 debido a que la función exponencial se aproxima a 0 rápidamente cuando su exponente tiende a negativo infinito.
Por lo tanto,
$\lim_{x \to -\infty} (e^{2x + 3} + 5) = 0 + 5 = 5$
Hay AH en $ y = 5 $
Y no, no hay asíntota horizontal cuando $x \to \infty$ porque la función crece indefinidamente en ese caso.