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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4 - Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonómetricas

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6.
a) Sean f(x)=ex+5,g(x)=2x+3f(x)=e^{x}+5, g(x)=2 x+3 y h(x)=f∘g(x)h(x)=f \circ g(x). Hallar la ecuación de la asíntota horizontal de hh.

Respuesta

La función h(x)=f(g(x))h(x) = f(g(x)) es la composición de las funciones f(x)=ex+5f(x) = e^x + 5 y g(x)=2x+3g(x) = 2x + 3. Para hallar la ecuación de la asíntota horizontal de hh, es necesario analizar el comportamiento de h(x)h(x) conforme xx tiende a infinito y a negativo infinito.

Calculemos h(x)=f∘g(x)h(x)=f \circ g(x):


h(x)=f(g(x))= e2x+3+5h(x) = f(g(x)) =  e^{2x + 3} + 5

h(x)=e2x+3+5h(x) = e^{2x + 3} + 5
Calculemos la asíntota horizontal, evaluando la función cuando xx tiende a infinito: lim⁡x→−∞h(x)=lim⁡x→−∞(e2x+3+5)\lim_{x \to -\infty} h(x) = \lim_{x \to -\infty} (e^{2x + 3} + 5) A medida que xx se hace muy negativo (tiende a −∞-\infty), la parte e2x+3e^{2x + 3} se acerca a 0 debido a que la función exponencial se aproxima a 0 rápidamente cuando su exponente tiende a negativo infinito. Por lo tanto, lim⁡x→−∞(e2x+3+5)=0+5=5\lim_{x \to -\infty} (e^{2x + 3} + 5) = 0 + 5 = 5
Hay AH en y=5 y = 5




Y no, no hay asíntota horizontal cuando x→∞x \to \infty porque la función crece indefinidamente en ese caso.
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